Seguimos sacando pasatiempos del libro sobre matemáticas "Gardner para aficionados". Recordamos que Martin Gardner fue un brillante escritor y difusor de la matemática recreativa en el mundo. En esta ocasión hemos elegido el siguiente problema:
Suponga que tres amigas (A, B y C) se encuentran a jugar al pimpón un sábado por la tarde. No se preocupe: no hace falta saber nada del juego propiamente dicho, solo que en este caso se juega en forma individual: una rival de cada lado de la mesa. Como tienen toda la tarde disponible, deciden jugar tantos partidos como puedan. La única regla que siguen es esta: eligen por sorteo quiénes jugarán el primer partido y, en lo que sigue, la ganadora continúa jugando y la perdedora sale para que participe la tercera que estaba como observadora. Dicho esto, al finalizar la tarde deciden contar cuántos partidos jugó cada una y la cuenta es la siguiente: A jugó 15 partidos, B jugó 10 partidos y C jugó 17 partidos. Fíjese en que el resumen es sobre partidos jugados y no partidos ganados o perdidos.
Pregunta: ¿Quién perdió el segundo partido?
Solución
Primero, contemos cuántos partidos se jugaron en total, al terminar la tarde. Si sumamos los partidos que jugaron las tres participantes, llegamos a 42, pero usted advierte que uno está contando dos veces cada partido (ya que lo juegan dos participantes por vez). Luego el número total de partidos jugados fue de 21.
Acá es donde me permito introducir un dato muy importante: cada jugadora no puede esperar más de un partido sin jugar. ¿Por qué? Porque la que pierde, sale y espera que le toque su turno nuevamente, pero a lo sumo, tendrá que ser observadora una sola vez antes de que intervenga nuevamente. En el mejor de los casos, una de las jugadoras podría ganar siempre y no ser observadora nunca, pero las perdedoras tienen la tranquilidad de que, en el peor de los casos, jugarán uno de cada dos partidos consecutivos.
Una pausa (que viene con pregunta incluida): después de haber leído lo que escribí en este último párrafo, ¿no tiene ganas de seguir por su cuenta? Ahora ya sabe que en total se jugaron 21 partidos y que las tres jugadoras intervienen seguro en dos partidos consecutivos. Con estas observaciones sobre la mesa, quizá usted pueda avanzar en soledad...
Sigo yo. Pregunta: ¿cuál es el mínimo número de partidos que pudo haber jugado cada una de las tres?
Como en total se jugaron 21, y cada participante tiene que jugar por lo menos una vez cada dos partidos consecutivos, la única forma de jugar el número mínimo es que pierda todos los partidos en los que intervenga. Pueden pasar dos cosas:
a. Que quien juegue la cantidad mínima de partidos sea una de las dos que inicia los partidos...
b. O que quien juegue la menor cantidad de partidos sea observadora de ese primer partido.
Como en total jugaron 21 partidos, que es un número impar, haber participado en el primero o no marca una diferencia. Fíjese por qué.
En el caso a, si empezara jugando el primer partido, la sucesión sería la siguiente:
1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-21
Como usted advierte, solamente jugaría los partidos impares: juega, pierde, sale, espera un turno y vuelve, pierde otra vez, sale y espera..., y así siguiendo.
Si usted cuenta, verá que en total jugó once partidos. Eso sucedió si suponemos que esa participante jugó el partido inicial de la serie. ¿Será ese el mínimo? ¿O podría haber alguna otra distribución en donde alguna de las jugadoras haya jugado menos que once?
Analicemos el caso b. Igual que antes, para jugar la mínima cantidad de partidos, tendrá que inexorablemente perder todos los partidos que juegue, solamente que ahora, en lugar de jugar el primero, juega el segundo, y a partir de allí, juega, pierde, sale, espera un partido, entra, pierde y sale..., y así sigue [tal y como sucedía en el caso a.]. Pero la diferencia es que, ahora, esa jugadora tuvo que haber participado en esta sucesión –que incluye solamente a los números pares–:
2-4-6-8-10-12-14-16-18-20
Y ahora sí que hemos llegado al número mínimo de partidos: ¡diez!
En el camino, con este análisis encontramos la respuesta. Si usted se fija, verá que la participante B es quien advirtió que había jugado nada más que diez partidos y eso significa que B jugó el número mínimo de partidos posibles.
La única manera de que eso haya sucedido es que B haya jugado (y perdido) el segundo. Más aún: no solo tuvo que haber perdido el segundo, sino que B perdió todos los partidos pares.
Moraleja
Aunque no parezca, esto también es hacer matemática. Aprovechando su potencia, hemos podido dar respuesta a algo que parecía inabordable e inalcanzable. Espero que usted lo haya disfrutado tanto como yo.